"셈"을 하는 행위란 무엇인가, 그리고 무한집합의 핵심 속성

​아이템을 센다는 것은 각 아이템 하나에 오직 하나의 정수만을 연계시키며, 마지막 아이템이 하나의 정수와 대응할 때까지 수를 증가시킨다는 뜻이다. 마지막으로 할당된 수는 전체 아이템의 개수다. 우리는 어떤 집합의 아이템이든 (시간만 충분하다면) 다 셀 수 있다.

똑같은 셈원리가 무한집합의 경우에도 유한하다. 하나의 무한집합에 "얼마나 많은" 원소가 있는가를 알아내기 위해, 우리는 앞서와 마찬가지로 각 원소에 하나의 정수를 할당해서 얼마나 멀리 계속되는지 알아본다.

우리가 유한한 물건의 집합을 셀 때와 똑같이 정상적인 "셈" 절차를 통해 갈릴레오는 무한집합이 유한집합과는 판이하게 다르다는 것을 발견했다. 즉, 무한집합은 자신의 진부분집합proper subset와 "같은 수의 원소"를 갖는 경우가 있다. 갈릴레오는 각 수를 제곱수와 대응시킴으로써, 즉 제곱수를 세어봄으로써, 정수만큼 많은 제곱수가 있다는 사실을 알아냈다.

1→1, 2→4, 3→9, 4→16, …

그렇다면 제곱수가 아닌 수는 어떻게 된 것일까? 셈 할당에서 누락된 수는 어디로 갔단 말인가? 제곱수가 다른 모든 수와 1대 1로 대응할 수 있다는 것은 사실이다. 어느 의미에서 제곱수의 수는 정수의 수와 같다. 이러한 현상이 사실일 수 있는 것은 오로지 두 집합이 무한집합이기 때문이다.

그는 (무한히 많이) 남아있는 수-모든 비제곱수-가 따로 있는데도, 각 제곱수가 이미 모든 정수와 대응한다는 것을 발견하고 충격을 받았다. 이때 갈릴레오는 무한집합의 핵심 속성을 발견한 셈이다. 그 속성이란, 하나의 무한집합은 그보다 더 작은 자신의 진부분집합-원 집합의 일부만 포함하는 집합-과 원소의 수가 동일할 수 있다는 것이다.

갈릴레오는 무한에 대한 결정적이고 반직관적인 사실-하나의 무한집합은 어느 면에서는 자신의 부분과 "똑같다"는 사실-을 이해했다. 그는 무한의 이산적discrete 형태-무한하면서도 여전히 셀 수 있는-를 언급했다. 오늘날 그처럼 무한하면서도 셀 수 있는 집합, 몯느 정수 혹은 모든 정수 제곱수의 집합을 가산무한집합countably infinite sets이라고 부른다. 어떤 수학자들은 가부번집합denumerable sets이라고도 한다.  

무한의 신비 국내도서 저자 : 애머액젤 / 신현용역 출판 : 승산 2002.06.03 상세보기