수학 Math
도올 김용옥 선생의 "영어 수학을 왜 공부해야 하는가?"
2018. 8. 30.https://youtu.be/fZk67qnUo3M 도올 김용옥 선생의 "영어 수학을 왜 공부해야 하는가?"
일련의 정확한 전략적 단계들이란 존재하지 않는다.
2018. 8. 21.만약 어린 학생이 처음에 등장하는 몇몇 난관을 뛰어넘고, 그 주제와 관련된 독특한 표기들을 극복하면서, 내용들의 단순 암기가 아닌 그 속에 담긴 아이디어들의 ‘이해’가 학습의 진전을 이루어내는 방법이라는 사실을 깨달을 수 있다면, 그 보다 약간 둔한 학생이 이등변 삼각형의 성질에 막혀 꼼짝 못하는 동안, 그 전까지는 존재하지 않았던 난해하면서도 혁신적인 생각들을 향하여 신나게 여행할 수 있다.학교에서 갈루아는 주의가 산만한 학생이었고, 그는 이러한 성격을 평생 고치지 못했다. 그는 ‘풀이과정을 쓰지 않고’, 머릿속에서 문제를 풀어냈기 때문에 교사들을 당혹스럽게 했다. 풀이 과정에 대한 수학 교사들의 집착은 오늘날 다수의 재능있는 어린 학생들을 괴롭히고 있다. 갓 자라나기 시작한 어린 축구 선수가 경기에서..
"셈"을 하는 행위란 무엇인가, 그리고 무한집합의 핵심 속성
2015. 11. 10.아이템을 센다는 것은 각 아이템 하나에 오직 하나의 정수만을 연계시키며, 마지막 아이템이 하나의 정수와 대응할 때까지 수를 증가시킨다는 뜻이다. 마지막으로 할당된 수는 전체 아이템의 개수다. 우리는 어떤 집합의 아이템이든 (시간만 충분하다면) 다 셀 수 있다. 똑같은 셈원리가 무한집합의 경우에도 유한하다. 하나의 무한집합에 "얼마나 많은" 원소가 있는가를 알아내기 위해, 우리는 앞서와 마찬가지로 각 원소에 하나의 정수를 할당해서 얼마나 멀리 계속되는지 알아본다. 우리가 유한한 물건의 집합을 셀 때와 똑같이 정상적인 "셈" 절차를 통해 갈릴레오는 무한집합이 유한집합과는 판이하게 다르다는 것을 발견했다. 즉, 무한집합은 자신의 진부분집합proper subset와 "같은 수의 원소"를 갖는 경우가 있다. 갈..
일련의 정확한 전략적 단계들이란 존재하지 않는다.
2014. 8. 9.만약 어린 학생이 처음에 등장하는 몇몇 난관을 뛰어넘고, 그 주제와 관련된 독특한 표기들을 극복하면서, 내용들의 단순 암기가 아닌 그 속에 담긴 아이디어들의 ‘이해’가 학습의 진전을 이루어내는 방법이라는 사실을 깨달을 수 있다면, 그 보다 약간 둔한 학생이 이등변 삼각형의 성질에 막혀 꼼짝 못하는 동안, 그 전까지는 존재하지 않았던 난해하면서도 혁신적인 생각들을 향하여 신나게 여행할 수 있다. 학교에서 갈루아는 주의가 산만한 학생이었고, 그는 이러한 성격을 평생 고치지 못했다. 그는 ‘풀이과정을 쓰지 않고’, 머릿속에서 문제를 풀어냈기 때문에 교사들을 당혹스럽게 했다. 풀이 과정에 대한 수학 교사들의 집착은 오늘날 다수의 재능있는 어린 학생들을 괴롭히고 있다. 갓 자라나기 시작한 어린 축구 선수가 경기에..
바바라 트베르스키 Barbara Tversky - 그림에 반영된 인지력의 근원 Cognitive Origins of Graphic production
2014. 7. 18.바바라 트베르스키 Barbara Tversky 의 은 여러 문화권의 어린 아이들이 지도나 그림을 그릴 때 공통적으로 나타나는 방향성을 분석한 일종의 보고서이다. 이 보고서에 따르면 여러 개의 숫자들을 크기순으로 나열하거나 시간의 흐름을 그림으로 표현할 때, 영어문화권의 아이들은 왼쪽에서 오른쪽으로, 또는 아래에서 위로 그려나간다. 반면 아랍어문화권의 아이들은 이와 정반대로 오른쪽에서 왼쪽으로 그려 나가지만, 수직방향으로는 아래에서 위로 그려 나가는 습성을 보인다. 즉, 영어권이건 아랍어권이건 간에, 어떤 양의 증가를 나타낼 때 위에서 아래로 그리지는 않는다. 수평방향으로는 문화권에 따라 방향성이 다르게 나타나는 반면, 수직방향으로는 문화권에 관계없이 분명한 방향성을 보인다. 마크 존슨 Mark Johns..
행렬의 곱(matrix multiplication)
2014. 7. 12.1. 행렬의 곱은 일명 "Dot Proudct"라고 불리는 방법을 통해 매칭되는 수끼리 곱한 뒤 합하여 구한다. 아래 첫번째 예에서 보듯이 행렬 A 의 첫번째 행과 행렬 B의 첫번째 열이 교차하는 지점 (1,1) 의 값을 구할려면 (1, 4, 7) • (1, 2, 3) = 1×1 + 4×2 + 7×3 = 30 즉, 첫번째 멤버인 1 과 7 을 곱하고, 마찬가지로 두번째 멤버인 2 와 9 를 곱한다. 마지막으로 세번쩨 멤버인 3과 11을 곱한 뒤 전부 합하면 30 이라는 값을 얻을 수 있다. 2. 나머지 칸도 위와 같은 방법으로 구하면 된다. 첫번째 행렬의 열의 갯수와 두번째 행렬의 행의 갯수가 같은 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있다. 그리고 그 결과는 첫번째 행렬의 행의 갯수와 두 번째 행렬의 열의 갯수..
Prime Fantasy (2) - 곱셈이 덧셈으로 '환원'될 수 없는 까닭에 대한 아주 기초적인 설명
2014. 6. 28.13 곱셈은 본질적으로 덧셈보다 더 복잡한 듯 하다. 이것은 곱셈이 어떤 의미에서는 덧셈보다 더 본질적fundamental 이라는 사실과 관련이 되어 있다. 14 학교에서는 곱셈보다 덧셈을 더 먼저 가르친다. 왜 그럴까? 그 이유는 다음과 같다. (1) 더 쉬워서 (2) 흔히 곱셈을 그저 수많은 덧셈을 생략하여 쓰는 표기법으로 생각하니깐 즉 4×5 가 무슨 뜻이냐고 물으면, 그에 대한 자연스러운 대답은 이런 것이다. 5 를 스스로 4 번 더하는 것, 즉 5+5+5+5 이 문제의 답이 20 인 것은 이 때문이다. 그러나 이 장의 주된 목표는 곱셈이 덧셈보다 더 기본적이며, 그래서 그 나름으로 이해되어야 한다는 것을 설명하는 것이다. 15 곱셈이 기본적인 것은 다음 까닭에서다 수의 곱셈은 물체들이 결합하여 ..
Prime Fantasy (1) - 수체계, 결합성, 교환성, 단위성, 분배성, 덧셈의 가역성, 0
2014. 6. 28.1 세 글자로 이루어진 다음 집합을 생각해보자. ｛a, b, c｝ 그리고 다음과 같다고 하자. a + a = q, a + b = b, a + c = c, b + b = c, b + c = a, c + c = b a × a = q, a × b = a, a × c = a, b × b = b, b × c = a, c × c = b 위에 나열한 세 글자를 더하고 곱하는 규칙은 계산할 수 있는 어떤 것이 아니라 정의definition 을 뜻한다. 그러니깐 내가 3 × 4 = 12 인 이유를 묻는다면 '음 , 4에 그 자신을 3번 더하는 거니까' 같은 얘기를 들을 수 있다. 그러나 위 글자들의 경우 나는 달리 어떤 방식으로 그 답을 정당화할 수 있다고 주장하지 않는다. 그저 보인대로 글자들을 더하고 곱하는 규칙을 ..
수학의 완전성 - 분수, 음수, 무리수, 허수의 탄생 배경
2014. 4. 9.1. 수의 역사는 가장 단순한 양의 정수, 즉 자연수 rational number 로 부터 시작되었다. 덧셈과 곱셈만 한다면 자연수로도 충분하다. 그러나 나눗셈이라는 연산이 도입되면서 자연수의 세계는 심각한 난관에 봉착했다. 2를 8로 나누면 더 이상 자연수로 표현할 수 없기 때문이다. 자연수를 자연수로 나누는 연산 자체는 매우 단순하지만 정확한 답을 얻으려면 수의 개념을 확장시켜야 한다. 아무리 어려운 질문이라도 마땅한 해답을 내지 못하는 것은 수학자에게 너무나 자존심 상하는 일이었기에, 그들이 기어이 해답을 찾아내고 말았다. 그리고 다시는 이러한 난처한 상황에 빠지지 않기 위해 '완전성 completeness'이라는 개념을 만들어냈다. 자연수만으로 나눗셈을 하다 보면 분수의 도움 없이는 도저히 답을..