1. 수학은 논리법칙을 사용하여 논리법칙을 따르는 모든 것을 연구하는 것이다.
2. 수학에서 발상이란 대상 사이의 유사점을 찾아내 하니의 레시피만 가지고도 수많은 상황을 만들어내는 것이다. 그 열쇠는 사소한 것을 무시하는 것이다. 그러면 상황이 더욱 이해하기 쉬워지며 그 안을 다양한 것으로 채울 수 있다. 이것이 추상과정이다.
3. 어떤 특성을 무시할 것인지 결정하는 것은 우리가 생각하고 있는 맥락에 전적으로 달려있다. 카테고리 이론은 최전선에 맥락을 배치한다.
4. 숫자에서 관계로. 이것은 내가 기억하는 한 추상에서 마지막 단계에 있는 큰 도약이다. 카테고리 이론이라는 것은 '한 대상의 범주 one-object category가 정확히 모노이드monoid'라는 개념이다.
5. 숫자는 추상적이다. 숫자 1, 2, 3, 4 등등은 단지 '개념'일 뿐이다. 숫자는 개념이기 때문에 논리를 사용하여 숫자를 조작할 수 있다.
6. 처음에 친숙한 상황을 조금 변형시켜서 더 많은 상황에서 쓸모있는 것으로 만든다. 이 또한 수학에서 일반화가 중요한 이유이다. 어떠한 개념을 좀 더 일반적인 개념으로 만들어 '케이크'라는 개념이 실제로 케이크는 아니지만 케이크와 비슷한 다른 모든 것들을 아우를 수 있게 하기 때문에 일반화라고 부른다. '포괄적인 진술'과는 다르다.
7. 4차원 공간에서 반지름 5cm의 구는 '4차원 공간에서 모든 점이 중심에서 5cm 거리에 있는 것'이다. 이것은 물리적인 대상이라기 보다는 '개념'이기 때문에 이것이 실제로 어떻게 생겼을지 모른다고 해도 상관이 없다. 그 개념이라는 것이 말이 되느냐만 상관이 있는 것이다. 하지만 하나의 일반화가 말이 된다고 해서 다른 일반화도 말이 된다는 것을 의미하지는 않는다.
8. 규칙을 하나씩 제쳐둘 때 어떤 순서로 제쳐놓으냐에 따라 일반화를 진행하는 루트가 달라진다. 일반화는 자동적인 과정이 아니다. 얼마나 멀리 진행하느냐 뿐만 아니라 어떤 관점을 가지느냐에 따라 일반화의 진행이 달라질 수 있다. 이러한 이유로 수학이 여러 가지 주제를 갖고 점점 빠르게 성장하고 있는 것이고 각각의 일반화를 통해 다른 수많은 것들이 발생하는 것이다.
9. 가장 좋은 새로운 수학적 발명은 내적으로도 의마가 있으며 기존의 문제를 해결할 수 있는 것이다.
10. 중요한 것은 소수가 무엇을 위해 있느냐를 이해하는 것이다. 소수는 덧셈이 아닌 곱셈으로 숫자를 만들어보고 싶을 때 숫자를 쌓는 주춧돌이 된다. 만약 덧셈으로 숫자를 만든다면 1이라는 숫자에 하나씩 더해서 다른 모든 숫자를 만들 수 있다. 하지만 곱셈으로 숫자를 만든다면 1은 아무런 작용도 하지 못한다. 1을 아무리 곱해봐야 아무 일도 일어나지 않기 때문이다. 1이 그렇게 좋은 주춧돌은 아니라는 의미다. 좀 더 기술적으로 말하면, 모든 정수는 소수를 '한 가지 방식으로' 곱해서 만들 수 있는 것이라 말하고 싶은 것이다.
11. 공정한 투표 시스템에 대한 공리
1) 무독재 : 결과는 한 사람 이상이 결정한다
2) 만장일치 : 만약 모두가 X보다 Y가 낫다고 투표하면 최종 결과에서는 X는 Y보다 높은 순위에 오를 것이다.
3) 관련 없는 대체자와의 무관성 : X와 Y의 순위는 Z에게로 마음을 바꾼 사람의 영향을 받지
12. 기술적으로 말하면, 같은 가족 구성원 중에서 유방암의 발생은 독립적인 사건이 아니라는 것이다.
13. 논리의 마지막 문제점은 논리에는 출발점이 없다는 것이다. 만약 맹목적인 믿음 하나를 택하지 않는다면 그 어느 곳으로도 진행할 수 없다. 아무 것도 없는 상태에서는 아무 것도 증명할 수는 없다. 아무 것도 없는 상태에서 추론할 수는 없다. 레고 조각 하나 없이 레고 건물을 세울 수는 없다. 공짜는 없다. 루이스 캐롤의 모순에서는 적어도 modus penens 라는 추론 규칙을 받아들여야 한다는 것을 알게 됐다.
14. 카테고리 이론은 레고 레고처럼 수학의 수학, 즉 '메타 수학'이다.논리는 수학을 연결하는 추론을 연구한다. 카테고리 이론은 수학을 떠받치는 구조를 연구하는 것이다.
15. 인수들을 맥락에 집어넣는 방법 (p.232)
16. 생성자가 된다는 것은 꽤 특별한 특성이다.
17. 두 대상에 작동하는 하나의 사상을 작은 그림으로 압축하면 다음과 같은 예로 범위를 넓힐 수 있다.
x→y (p.279 참조)
18. 카테고리 이론은 대상 그 자체보다 대상 간의 관계를 통해서 맥락 안에서의 대상을 연구한다. 이러한 목적 중 하나는 특정한 맥락에서 어떠한 것이 '동일'한지 정확히 하려는 것이다. 이것은 방정식을 푸는 것이 무엇이냐에 관한 것이다. 먼저 어떤 것이 다른 어떤 것과 동일하다는 진술로 시작할 수 있다. 그 다음에는 이 진술을 계속해서 더 유용한 방식으로 어떤 것이 다른 어떤 것과 동일하다는 연속적인 진술로 데채한다. 특별히 유용한 정보를 얻을 때까지 이 과정을 계속해나간다.
19. 등식은 동일한 개념을 이해하는 다른 방식을 제공해준다. 하지만 1 =1 또는 x = x 와 같은 등식은 완전히 쓸모없다. 쓸모있는 유일한 등식은 두 가지의 다른 방식이 '어떤 면에서 동일'한지 보여주는 것이다.
20. 카테고리 이론에서는 우리가 어떠한 대상이 동일하다고 말할 때 가끔은 완벽하게 정직하지는 않다는 점을 관찰한다.
21. 얼린 달걀 : 거의 뒤집을 수 있는 프로세스
물을 얼린다는 것은 확실히 뒤집을 수 있는 일이다. 하지만 다른 프로세스는 '거의' 뒤집을 수 있다. 즉, 어떠한 프로세스를 뒤집고 싶을 때 처음의 상태와는 '거의' 똑같은 것을 얻게 된다는 것이다. 이것은 카테고리 이론에서 다룰 수 있는 것으로, 커테고리 이론에서는 '거의 동일함'에 대한 개념을 다룬다.
22. 자연수의 맥락은 '모노이드'라는 개념이다. 이는 군과 같은 것으로, 원하는 순서로 뭔가를 더할 수 있다. 이때 모든 것에는 '역'이 있다고하는 규칙을 포함하지 않기 때문에 음수에 대해 생각하지 않아도 된다. 만약 1로 시작해 모노이드를 '자유롭게' 만든다면 다음과 같이 할 수 있어야 한다.
1 + 1
1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
...
우리가 해야할 것은 뭔가를 계속 더하는 것이며 우리가 얻게 되는 것은 자연수다. 그러니 자연수는 숫자 1로 시작하는 '자유로운 모노이드'다.
만약 군을 충족하도록 역을 원하는 경우, 숫자 1로 시작하면 모든 정수를 얻는다. 기본적으로 우리가 할 수 있는 것은 1들을 더하고 음수 버전을 취하는 것이다. 따라서 정수는 숫자 1로 시작하는 '자유로운 군'이 된다.
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