수학
2016년 72번째 책 (6/25~6/30) - 유지나아 쳉, <수학을 요리하다>
2016. 9. 11.2016년 72번째 책 (6/25~6/30) - 유지나아 쳉, 1. 수학은 논리법칙을 사용하여 논리법칙을 따르는 모든 것을 연구하는 것이다. 2. 수학에서 발상이란 대상 사이의 유사점을 찾아내 하니의 레시피만 가지고도 수많은 상황을 만들어내는 것이다. 그 열쇠는 사소한 것을 무시하는 것이다. 그러면 상황이 더욱 이해하기 쉬워지며 그 안을 다양한 것으로 채울 수 있다. 이것이 추상과정이다. 3. 어떤 특성을 무시할 것인지 결정하는 것은 우리가 생각하고 있는 맥락에 전적으로 달려있다. 카테고리 이론은 최전선에 맥락을 배치한다. 4. 숫자에서 관계로. 이것은 내가 기억하는 한 추상에서 마지막 단계에 있는 큰 도약이다. 카테고리 이론이라는 것은 '한 대상의 범주 one-object category가 정확히 모노..
"셈"을 하는 행위란 무엇인가, 그리고 무한집합의 핵심 속성
2015. 11. 10.아이템을 센다는 것은 각 아이템 하나에 오직 하나의 정수만을 연계시키며, 마지막 아이템이 하나의 정수와 대응할 때까지 수를 증가시킨다는 뜻이다. 마지막으로 할당된 수는 전체 아이템의 개수다. 우리는 어떤 집합의 아이템이든 (시간만 충분하다면) 다 셀 수 있다. 똑같은 셈원리가 무한집합의 경우에도 유한하다. 하나의 무한집합에 "얼마나 많은" 원소가 있는가를 알아내기 위해, 우리는 앞서와 마찬가지로 각 원소에 하나의 정수를 할당해서 얼마나 멀리 계속되는지 알아본다. 우리가 유한한 물건의 집합을 셀 때와 똑같이 정상적인 "셈" 절차를 통해 갈릴레오는 무한집합이 유한집합과는 판이하게 다르다는 것을 발견했다. 즉, 무한집합은 자신의 진부분집합proper subset와 "같은 수의 원소"를 갖는 경우가 있다. 갈..
일련의 정확한 전략적 단계들이란 존재하지 않는다.
2014. 8. 9.만약 어린 학생이 처음에 등장하는 몇몇 난관을 뛰어넘고, 그 주제와 관련된 독특한 표기들을 극복하면서, 내용들의 단순 암기가 아닌 그 속에 담긴 아이디어들의 ‘이해’가 학습의 진전을 이루어내는 방법이라는 사실을 깨달을 수 있다면, 그 보다 약간 둔한 학생이 이등변 삼각형의 성질에 막혀 꼼짝 못하는 동안, 그 전까지는 존재하지 않았던 난해하면서도 혁신적인 생각들을 향하여 신나게 여행할 수 있다. 학교에서 갈루아는 주의가 산만한 학생이었고, 그는 이러한 성격을 평생 고치지 못했다. 그는 ‘풀이과정을 쓰지 않고’, 머릿속에서 문제를 풀어냈기 때문에 교사들을 당혹스럽게 했다. 풀이 과정에 대한 수학 교사들의 집착은 오늘날 다수의 재능있는 어린 학생들을 괴롭히고 있다. 갓 자라나기 시작한 어린 축구 선수가 경기에..
바바라 트베르스키 Barbara Tversky - 그림에 반영된 인지력의 근원 Cognitive Origins of Graphic production
2014. 7. 18.바바라 트베르스키 Barbara Tversky 의 은 여러 문화권의 어린 아이들이 지도나 그림을 그릴 때 공통적으로 나타나는 방향성을 분석한 일종의 보고서이다. 이 보고서에 따르면 여러 개의 숫자들을 크기순으로 나열하거나 시간의 흐름을 그림으로 표현할 때, 영어문화권의 아이들은 왼쪽에서 오른쪽으로, 또는 아래에서 위로 그려나간다. 반면 아랍어문화권의 아이들은 이와 정반대로 오른쪽에서 왼쪽으로 그려 나가지만, 수직방향으로는 아래에서 위로 그려 나가는 습성을 보인다. 즉, 영어권이건 아랍어권이건 간에, 어떤 양의 증가를 나타낼 때 위에서 아래로 그리지는 않는다. 수평방향으로는 문화권에 따라 방향성이 다르게 나타나는 반면, 수직방향으로는 문화권에 관계없이 분명한 방향성을 보인다. 마크 존슨 Mark Johns..
행렬의 곱(matrix multiplication)
2014. 7. 12.1. 행렬의 곱은 일명 "Dot Proudct"라고 불리는 방법을 통해 매칭되는 수끼리 곱한 뒤 합하여 구한다. 아래 첫번째 예에서 보듯이 행렬 A 의 첫번째 행과 행렬 B의 첫번째 열이 교차하는 지점 (1,1) 의 값을 구할려면 (1, 4, 7) • (1, 2, 3) = 1×1 + 4×2 + 7×3 = 30 즉, 첫번째 멤버인 1 과 7 을 곱하고, 마찬가지로 두번째 멤버인 2 와 9 를 곱한다. 마지막으로 세번쩨 멤버인 3과 11을 곱한 뒤 전부 합하면 30 이라는 값을 얻을 수 있다. 2. 나머지 칸도 위와 같은 방법으로 구하면 된다. 첫번째 행렬의 열의 갯수와 두번째 행렬의 행의 갯수가 같은 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있다. 그리고 그 결과는 첫번째 행렬의 행의 갯수와 두 번째 행렬의 열의 갯수..
야나마카 신야,마스카와 도시히데,「새로운 발상의 비밀」- '착각'을 한다는 것이 아주 중요해요.
2014. 5. 24.야마나카 ... 하지만 그 때는 정말로 어려웠어요. '평면은 점 3개로 결정된다'는 건 알고 있었고 당연한 얘기인데, 의자와 결부시키니 혼란스러웠던 겁니다. 마스카와 ... 마지막 한 문제를 도저히 모르겠더군요. "n 개의 점이 있다. 그 가운데 임의로 2개의 점을 직선으로 연결하면 반드시 그 직선 위에 또 하나의 점이 있다. 이 조건에서는 모든 점이 일직선 상에 놓이게 된다. 이를 증명하라."는 문제였습니다. 친구들과 상의도 해봤지만 아무도 모르더군요. 여름방학 내내 생각했지만 답은 구하지 못했어요. 하지만 정말로 쉬운 문제였어요. "n 개의 점이라는 건 100개든 200개든 상관없이 점이 유한 개 있다는 뜻이죠. 이 '유한'이라는 단어가 중요해요. 무한이라면 금방 예외를 찾아낼 수 있습니다. 그리고 ..
수학의 완전성 - 분수, 음수, 무리수, 허수의 탄생 배경
2014. 4. 9.1. 수의 역사는 가장 단순한 양의 정수, 즉 자연수 rational number 로 부터 시작되었다. 덧셈과 곱셈만 한다면 자연수로도 충분하다. 그러나 나눗셈이라는 연산이 도입되면서 자연수의 세계는 심각한 난관에 봉착했다. 2를 8로 나누면 더 이상 자연수로 표현할 수 없기 때문이다. 자연수를 자연수로 나누는 연산 자체는 매우 단순하지만 정확한 답을 얻으려면 수의 개념을 확장시켜야 한다. 아무리 어려운 질문이라도 마땅한 해답을 내지 못하는 것은 수학자에게 너무나 자존심 상하는 일이었기에, 그들이 기어이 해답을 찾아내고 말았다. 그리고 다시는 이러한 난처한 상황에 빠지지 않기 위해 '완전성 completeness'이라는 개념을 만들어냈다. 자연수만으로 나눗셈을 하다 보면 분수의 도움 없이는 도저히 답을..